淋浴方程对决物理时空局域性

吕宏

天津大学理学院

物理学的一个重要基本原理就是相互作用的时空局域性。也就是说，基本粒子或其对应的场，它们之间的相互作用，必须发生在同一个时刻、同一个空间点。在不同时间或不同地点的粒子，可以有关联，有因果，但没有相互作用。以牛顿力学为框架的经典体系中，相互作用是可以超距的，万有引力在牛顿理论中就是两个质量间的超距作用，而不是后来认为的物质和引力场的局域作用。但是牛顿体系中的相互作用在时间上却是严格局域的，比如牛顿力学第二定律,

指出质子在某个时刻的速度变化，不早不晚，只和在该时刻受到的力有关。

但是在我们生活的宏观经验中，经常有延迟效应。股市中的追涨杀跌是延迟效应很直观的体现。一个孩子的教育，是好是坏，也往往要在较长时间后才能判断。这种现象，可以用一个“淋浴方程”来描述

（有关淋浴方程，参见公众号《返朴》的文章，“淋浴方程：洗澡水温不满意，责任全都在我”。）这个方程描述在 t 时刻淋浴水温度的变化是由在此 d 时刻前的调节而产生。我们可以把 称为干预系数。如果干预是瞬时的，也就是 , 那么这个方程非常容易解，给出

因此在正干预下，这个系统是指数收敛的，一个事件从而被迅速扼杀在摇篮中。如果为负，可以称之为煽动系数，一个事件就被推波助澜而不可控。但现实中干预往往有个延迟效应，相应的淋浴方程可以有以下解：

当为煽动系数时，只有一个正实数解，并且, 因而系统依然发散，但效应会因为延迟时间的增长而减弱。反之，当为干预系数时，有两个负的实数解，表明系统稳定。当时，成为一对共轭复数

从而我们有

非常有意思的是，并非总是负数，其符号与的大小相关。我们有

这个结果表明，一个在瞬间干预时可控的事件，会因为延迟效应时间的拉长而失控。这个结论显然符合直觉，是烂尾楼的根源。违背直觉地是，一旦有了延迟效应, 那么过大的干预也会使场面失控。尤其那些延迟效应很长的超大项目，干预系数不能大，非常符合“治大国如烹小鲜”的无为思想。由于延迟效应，很难想象长达几百年、乃至千年的阴谋是如何突破淋浴方程的限制。解决的办法是把大项目分解成延迟时间较短的“小目标”。虽然淋浴方程是一个简化粗糙的模型，但对于我们管理宏观经济、全球气候及小孩教育等都有深刻的指导意义。

在物理学中很少有类似淋浴方程的动力学延迟效应。（在量子力学中，薛定谔方程是时间局域的，但考虑一个子系统，当外部大环境的效应放进来后，有效描述就有了“历史依赖”的非马尔可夫效应。）它的有效性是否揭示了宇宙运行的自然规律不一定是局域的？这个结论为时过早。我们来看一个时间局域系统，也就是阻尼谐振子：

其中  是弹簧系数，阻尼系数  对应于和速度成正比的摩擦力。这个方程完全可解，给出

这个时间局域系统似乎等价于非局域的淋浴方程。两个系统各自都有两个参数，分别为和。参数间的联系是：

每个系统参数各自的物理意义非常明确，但是参数物理意义的转换却非常晦涩。阻尼系数 对应于干预系数 ，如果 和 , 两个系统都收敛，这符合我们的预期。但延迟效应足够大时可以产生出一个弹簧力的效果，并非显然易见。而且加大延迟时间可以抹去摩擦，甚至产生出``反摩擦力''效果，更是匪夷所思。

本文的目的是试图说明，在基础层面上，物理规律是时空局域的。在宏观层面上观测到的复杂系统的延迟效应，可以用忽略局域作用细节的近似有效理论来研究。比如一旦猪肉价格大涨，就会有更多的养猪专业户及扩大的猪栏数量，从而使第二年的猪肉价格回归正常甚至大跌。这一串的因果关联中，每个步骤都是局域作用产生的，但总体效果可以用非常有效的非局域淋浴方程来描述。目前还没有任何理论和实验证据能否决物理学相互作用的时空局域性。

但是如果物理本质确实不是局域呢？由于弦不是质点，超弦理论对局域性就提出了挑战。本文非局域的一阶微分方程的所描述的延迟效应可以等价地用二阶局域微分方程来描述，这种现象是否有普遍性？对这个问题的探讨，立刻引出一个疑惑：为什么一阶的淋浴方程可以有两个积分常数？（文中并没有具体给出。）这说明我们并没有完全掌握非局域方程的解空间，因而完全可以怀疑淋浴方程和阻尼谐振子方程的等价性。事实上，如果我们对方程淋浴方程做 Taylor 展开，我们得到一个无穷阶局域线性微分方程：

无穷阶导数是非局域系统的一个数学特征。在微扰意义下，忽略 及以上高阶项时，我们获得一个弹簧系数无穷大的阻尼谐振子方程。由此可见，我们没有任何理由相信，阻尼谐振子是淋浴方程的唯一解。如果能找出一个新的解析解，它也许会给我们带来意想不到的启示，也表明非局域物理需要一套新的数学。

 

2021年8月18日